우선 이해를 돕고자 단순화시킨 아래 그림을 사용한다.
질량을 가진 모든 물체는 다음 3가지의 에너지를 갖는다. 속도에 따라 변하는 운동에너지(Kinetic Energy), 위치에 따라 변하는 위치에너지(Potential Energy), 그리고 내부에너지(Internal Energy)이다. 그러나 유체역학에서 사용하는 액체의 경우 비압축성 유체로 가정하기 때문에 내부에너지를 저장하기 위한 탄성에너지는 무시할 수 있으므로 내부에너지(Internal Energy) 항목은 유체역학에서 제외한다.
그리고 하나 더, 물체가 고유하게 보유하고 있지는 않지만 유체가 유동하면서 그 시점에 유체가 갖는 압력에 의해 비로소 발생하게 되는 압력에너지(Pressure Energy)도 함께 고려하여야 한다. 압력은 물체가 갖는 성질이지만 유동이 없으면 압력은 힘으로서만 존재할 뿐 에너지로 존재하는 것은 아니다. 이 점을 유의하여야 할 것이다.
즉, 베르누이 방정식에서 고려하여야 할 에너지는 압력에너지(Pressure Energy), 운동에너지(Kinetic Energy), 위치에너지(Potential Energy)로 모두 3가지이다.
에너지 보존의 법칙에 의해, 압력에너지 + 운동에너지 + 위치에너지 = 일정 또는 압력에너지(가) + 운동에너지(가) + 위치에너지(가) = 압력에너지(나) + 운동에너지(나) + 위치에너지(나)가 성립한다.
아울러 베르누이 방정식은 아래의 조건에서만 유효하다.
① 유선을 따르는 비점성 흐름이다.
② 정상 상태의 흐름이다.
③ 마찰이 없는 흐름이다.
④ 비압축성 유체의 흐름이다(밀도가 일정하다).
0. 연속방정식 (추가)
연속방정식은 질량보존의 법칙으로부터 유도된다. "가" 지점을 통과하는 유체의 질량과 "나" 지점을 통과하는 유체의 질량은 같다. 즉 질량유량은 "가" 지점과 "나" 지점에서 같다.
"가" 지점 : A₁* v₁* ρ₁ A : 단면적 [㎡], v : 속도 [m/s], ρ : 밀도 [㎏/㎥]
"나" 지점 : A₂* v₂* ρ₂ A : 단면적 [㎡], v : 속도 [m/s], ρ : 밀도 [㎏/㎥]
A₁* v₁* ρ₁= A₂* v₂* ρ₂
1. 압력에너지 (Pressure Energy)
압력은 단위면적당 유체가 받는 힘을 말한다. 압력이 갖는 에너지는 면적이 이동한 거리, 즉 체적에 비례한다.
"가", "나" 지점에서의 압력에너지는 다음과 같다.
"가" 지점 : PrE₁= P₁* A₁* L₁= P₁* V₁
"나" 지점 : PrE₂= P₂* A₂* L₂= P₂* V₂
2. 운동에너지 (Kinetic Energy)
질량 m인 물체가 속도 v로 운동을 할 때 이 물체가 갖는 운동에너지는 질량에 비례하고, 속도의 제곱에 비례한다. 즉 KE = mv²/2이다.
※ 위의 식은 F = ma 로 부터 유도된다.
F = ma = m * dv/dt ∵ 가속도 a는 속도의 시간에 대한 미분값(dv/dt)이다.
F * dt = m * dv [dv : 미소속도, dt : 미소시간]
W = F * s = F * dt * dv = m * dv * dv [W : 일, s : 거리]
∫∫ F dt dv = ∫∫ m dv dv
∫ (F * t) dv = ∫ (m * v) dv
(F * t * v) = F * s = W = mv² / 2 [적분시 생성되는 상수값은 양쪽 모두 동일하다고 가정하고 무시함]
"가", "나" 지점에서의 운동에너지는 다음과 같다.
"가" 지점 : KE₁= m(*)₁* t * v₁² / 2 = m₁* v₁² / 2 t : 유체가 움직인 시간
"나" 지점 : KE₂= m(*)₂* t * v₂² / 2 = m₂* v₂² / 2 t : 유체가 움직인 시간
3. 위치에너지 (Potential Energy)
질량 m인 물체가 높이 h에 있을 때 이 물체가 갖는 위치에너지는 높이와 질량에 비례한다. 즉 PE = mgh이다(g는 중력가속도).
※ 위의 식은 F = ma 로 부터 유도된다.
F = ma = m * g ∵ 위치에너지 계산시 가속도 a는 중력가속도 g로 대체된다.
W = F * s = m * g * h
"가", "나" 지점에서의 위치에너지는 다음과 같다.
"가" 지점 : PE₁= m(*)₁* t * g * z₁= m₁* g * z₁ t : 유체가 움직인 시간
"나" 지점 : PE₂= m(*)₂* t * g * z₂= m₂* g * z₂ t : 유체가 움직인 시간
정리하면,
PrE₁+ KE₁+ PE₁= PrE₂+ KE₂+ PE₂
(P₁* V₁) + (m₁* v₁² / 2) + (m₁* g * z₁) = (P₂* V₂) + (m₂* v₂² / 2) + (m₂* g * z₂)
각 항을 체적으로 나누면,
P₁+ [(m₁/ V₁) * v₁² / 2] + [(m₁/ V₁) * g * z₁] = P₂+ [(m₂/ V₂) * v₂² / 2] + [(m₂/ V₂) * g * z₂]
P₁+ [ρ₁* v₁² / 2] + [ρ₁* g * z₁] = P₂+ [ρ₂* v₂² / 2] + [ρ₂* g * z₂]
P₁+ [ρ * v₁² / 2] + [ρ * g * z₁] = P₂+ [ρ * v₂² / 2] + [ρ * g * z₂] (∵ 비압축성 유체 : 밀도 동일함)
[P₁/ (ρ * g)] + [v₁² / (2 * g)] + z₁= [P₂/ (ρ * g)] + [v₂² / (2 * g)] + z₂
☞ P + [(ρ * v²) / 2] + (ρ * g * z) = Constant
☞ [P / (ρ * g)] + [v² / (2 * g)] + z = Constant
"가" 지점 : 질량유량 : m(*)₁= 1 ㎏/s
압력 : P₁(N/㎡)
속도 : v₁= 0.1 m/s
밀도 : ρ₁= 200 (㎏/㎥)
체적 : V₁= A₁* L₁= 30 ㎠ * 10 ㎝ = 300 ㎤ = 0.0003 ㎥
지표면과의 거리 : z₁= 5 m
"나" 지점 : 질량유량 : m(*)₂= 1 ㎏/s
압력 : P₂(N/㎡)
속도 : v₂= 0.3 m/s
밀도 : ρ₂= 200 (㎏/㎥)
체적 : V₂= A₂* L₂= 10 ㎠ * 30 ㎝ = 300 ㎤ = 0.0003 ㎥
지표면과의 거리 : z₂= 5 m
그림에서 주어진 조건일 때 "나"지점에서의 압력 P₂는 "가" 지점에서의 압력 P₂에 비해 얼마나 변화가 있을까?
이 문제를 풀기 위해서는 먼저 베르누이 방정식의 제한 조건인 다음의 4가지가 충족된다는 가정이 전제되어야 한다.
① 유선을 따르는 비점성 흐름이다.
② 정상 상태의 흐름이다.
③ 마찰이 없는 흐름이다.
④ 비압축성 유체의 흐름이다(밀도가 일정하다).
P₁+ [(ρ * v₁²) / 2] + (ρ * g * z₁) = P₂+ [(ρ * v₂²) / 2] + (ρ * g * z₂)
P₂= P₁+ [(ρ * v₁²) / 2] + (ρ * g * z₁) - [(ρ * v₂²) / 2] - (ρ * g * z₂)
P₂= P₁+ [(ρ * v₁²) / 2] - [(ρ * v₂²) / 2] (∵ z₁= z₂)
P₂= P₁+ [ρ * (v₁² - v₂²) / 2]
P₂= P₁+ [200 * {(0.1)² - (0.3)²} / 2]
P₂= P₁+ [200 * {(0.1)² - (0.3)²} / 2]
P₂= P₁+ [200 * (-0.08) / 2]
P₂= P₁- [16 / 2]
P₂= P₁- 8 [N/㎡]
즉 "나" 지점의 압력 P₂는 "가" 지점의 압력 P₁보다 8 [N/㎡]만큼 내려간다.
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이왕 에너지보존법칙이 나온 김에 한가지만 덧붙이고자 한다.
지리산 천왕봉(해발 1,950m)에서 만들어진 구름에 의해 내리는 빗방울의 속도는 어떻게 될까?
계산의 편리함을 위해 높이를 2,000m라 하고, 계산을 해보자.
해발 2,000m상공에 있는 물방울은 속도가 "0 m/s"이기 때문에 운동에너지는 "0"이다. 위치에너지만 갖고 있다.
그리고 지표면에서는 해발 "0 m"이므로 위치에너지는 "0"이다. 즉 운동에너지만 갖고 있다는 뜻이다.
그렇다면 에너지 보존 법칙에 의해 다음이 성립한다. (여기서도 계산의 편리성을 위해 중력가속도 g = 10 m/s로 한다)
천왕봉에서의 에너지 : m * g * h = m [㎏] * 10 [m/s²] * 2,000 [m]
지면에 닿기 직전의 에너지 : m * v² / 2 = m [㎏] * v² [㎡/s²] / 2
m [㎏] * 10 [m/s²] * 2,000 [m] = m [㎏] * v² [㎡/s²] / 2 [질량 m은 동일하므로 없어진다]
v² [㎡/s²] = 40,000 [㎡/s²]
∴ v [m/s] = 200 [m/s]
지리산 천왕봉에서 비가 내리면 지면에 닿는 순간의 속도는 위에서와 같이 200 m/s 이며, 시속으로 계산하면 720 ㎞/h 이다. 이 정도 속력이면 아무리 질량을 갖지 않는 빗방울임을 감안하더라도 제대로 맞을 경우 죽지는 않더라도 혼절을 할 정도는 될 것 같다. 물론 이것보다 더 높은 곳에서 떨어지는 빗방울도 있을 것이다. 그렇지만 실제 생활에서 알 수 있듯이 빗방울의 속도는 위에서 계산된 값에 미치지 못한다. 가장 큰 요인은 공기의 저항이다. 빗방울이 낙하하면서 공기저항을 받게 되고, 이 저항으로 인해 발생하는 힘이 운동에너지와 같아지면 속도가 더 이상 증가하지 않는다. 이 때의 속도를 임계속도(Critical Velocity)라고 한다.